Теорема Пеано

Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(t,x) }[/math] непрерывна по совокупности переменных в некоторой области [math]\displaystyle{ |t-t_0| \leqslant a, |x-x_0| \leqslant b }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — максимум [math]\displaystyle{ |f(t,x)| }[/math] в этой области. Если [math]\displaystyle{ h = \min (a, \frac{b}{\beta}) }[/math], то на отрезке [math]\displaystyle{ [t_0-h, t_0+h] }[/math] существует по крайней мере одно решение уравнения [math]\displaystyle{ \frac {dx} {dt} = f(t,x) }[/math], удовлетворяющее начальному условию [math]\displaystyle{ x(t_0)=x_0 }[/math].

Доказательство

Уравнение [math]\displaystyle{ \frac {dx} {dt} = f(t,x) }[/math] с начальным условием [math]\displaystyle{ x(t_0)=x_0 }[/math] эквивалентно интегральному уравнению [math]\displaystyle{ x(t) = x_0 + \int \limits_{t_{0}}^t f(\tau, x(\tau)) d\tau }[/math].

Рассмотрим оператор A, определенный равенством [math]\displaystyle{ A(x) \equiv x_0 + \int \limits_{t_{0}}^t f(\tau, x(\tau)) d\tau }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ C[t_{0}-h,t_{0}+h] }[/math] на шаре [math]\displaystyle{ S_b : ||x-x_0|| \leqslant b }[/math], который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.

Оператор A вполне непрерывен на этом шаре. Если последовательность [math]\displaystyle{ \mathcal {f} x_n(t) \mathcal {g} }[/math], принадлежащая шару [math]\displaystyle{ |x-x_0| \leqslant b }[/math], равномерно сходится к функции [math]\displaystyle{ x(t) \in S_b }[/math], то в силу непрерывности функции [math]\displaystyle{ f(t,x) }[/math] имеем, что [math]\displaystyle{ f(t,x_n(t)) \rightarrow f(t, x(t)) }[/math] равномерно на [math]\displaystyle{ [t_0-h, t_0+h] }[/math]. При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что [math]\displaystyle{ Ax_n \rightarrow Ax }[/math], то есть оператор A непрерывен на шаре [math]\displaystyle{ S_b }[/math].

Для любого элемента [math]\displaystyle{ x(t) \in S_b }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ |Ax(t)| \leqslant |x_0|+|\int \limits_{t_{0}}^t f(\tau, x(\tau)) d\tau \leqslant |x_0| + \beta |h| }[/math], то есть множество значений оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] ограничено.

Если [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] — любые точки отрезка [math]\displaystyle{ [t_0-h, t_0+h] }[/math], то для любой функции [math]\displaystyle{ x(t) \in S_b }[/math] будем иметь [math]\displaystyle{ |Ax(t_{2}) - Ax(t_{1})| \leqslant |\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} f(\tau, x(\tau)) d\tau | \leqslant \beta |t_{2}-t_{1}| }[/math], то есть множество значений оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] равностепенно непрерывно.

В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] преобразует шар [math]\displaystyle{ S_b : ||x-x_0|| \leqslant b }[/math] в компактное множество.

Это доказывает полную непрерывность оператора [math]\displaystyle{ A }[/math].

Оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] преобразует шар [math]\displaystyle{ S_b : ||x-x_0|| \leqslant b }[/math] в себя. Действительно, [math]\displaystyle{ |Ax(t) - x_0)| \leqslant |\int \limits_{t_{0}}^{t} f(\tau, x(\tau)) d\tau | \leqslant \beta h \leqslant \beta \frac{b}{\beta} = b }[/math].

Таким образом, оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Существует неподвижная точка этого оператора, то есть такая функция [math]\displaystyle{ \tilde {x}(t) }[/math], что [math]\displaystyle{ \tilde {x}(t) \equiv x_0 + \int \limits_{t_{0}}^{t} f(\tau, \tilde {x}(\tau)) d\tau }[/math].

Эта функция [math]\displaystyle{ \tilde {x}(t) }[/math] будет решением уравнения [math]\displaystyle{ \frac {dx} {dt} = f(t,x) }[/math], удовлетворяющим начальному условию [math]\displaystyle{ x(t_0)=x_0 }[/math].

См. также

• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.